20 ARCH e GARCH — Identificação
20.1 Motivação
A intuição dos testes de identificação dos modelos ARCH(\(q\)) e GARCH(\(p\), \(q\)) é muito semelhante à dos modelos ARMA(\(p\), \(q\)) — usamos a FAC e FACP, mas aplicadas aos resíduos ao quadrado \(\hat{\epsilon}_t^2\).
20.2 Função de Autocorrelação (FAC) dos Resíduos ao Quadrado
Define-se a variância média amostral dos resíduos:
\[\bar{\sigma}^2 = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\hat{\epsilon}_t^2\]
A FAC dos resíduos ao quadrado é:
\[\hat{\rho}_j = \frac{\frac{1}{T}\sum_{t=j+1}^{T}(\hat{\epsilon}_t^2 - \bar{\sigma}^2)(\hat{\epsilon}_{t-j}^2 - \bar{\sigma}^2)}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\hat{\epsilon}_t^2 - \bar{\sigma}^2)^2}\]
Diz-se que algum modelo ARCH está presente se os valores de \(\hat{\rho}_j\) forem estatisticamente diferentes de zero.
20.3 Função de Autocorrelação Parcial (FACP) dos Resíduos ao Quadrado
A FACP é obtida representando os coeficientes \(\phi_{s,s}\) da regressão:
\[\hat{\epsilon}_t^2 = \phi_s + \phi_{s,1}\,\hat{\epsilon}_{t-1}^2 + \phi_{s,2}\,\hat{\epsilon}_{t-2}^2 + \cdots + \phi_{s,s}\,\hat{\epsilon}_{t-s}^2 + u_t\]
| Ferramenta | ARMA | ARCH/GARCH |
|---|---|---|
| FAC | Identifica ordem \(q\) do MA | Identifica ordem máxima \(q\) do ARCH (\(\epsilon_{t-i}^2\)) |
| FACP | Identifica ordem \(p\) do AR | Identifica ordem máxima \(p\) do GARCH (\(\sigma_{t-j}^2\)) |
20.4 Teste de Ljung-Box para Heterocedasticidade Condicional
A estatística \(Q\) de Ljung-Box pode ser usada para testar a presença de heterocedasticidade condicional nos resíduos ao quadrado:
\[\begin{cases} H_0: \sum_{j=1}^{n} \hat{\rho}_j = 0 \\ H_A: \hat{\rho}_j \neq 0 \text{ para algum } j \end{cases}\]
\[Q = T(T+2) \sum_{j=1}^{n} \frac{\hat{\rho}_j^2}{T - j} \xrightarrow{d} \chi^2_n\]
20.5 Teste LM (ARCH-LM)
Baseado em Engle (1982) e Lee (1991):
\[\begin{cases} H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_q = 0 \\ H_A: \alpha_i \neq 0 \text{ para algum } i \end{cases}\]
Regride-se \(\hat{\epsilon}_t^2\) nos seus próprios valores defasados:
\[\hat{\epsilon}_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1\,\hat{\epsilon}_{t-1}^2 + \alpha_2\,\hat{\epsilon}_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_q\,\hat{\epsilon}_{t-q}^2 + u_t\]
Estatística de teste: \(TR^2 \xrightarrow{d} \chi^2_q\).
Rejeitar \(H_0\) indica que a variância condicional não é constante — confirma a necessidade do modelo ARCH/GARCH.
20.6 Critérios de Informação e Seleção do Modelo
Para os modelos GARCH, continuam válidas as análises dos Critérios de Informação de Akaike (AIC), Schwarz (BIC) e Hannan-Quinn (HQ). Pela facilidade de aplicação e interpretação, esse método é bastante utilizado para definir a melhor especificação.
Uma peculiaridade desta literatura são os testes de simetria do GARCH (Hegerud, 1997), que verificam se os choques positivos e negativos têm efeitos assimétricos sobre a volatilidade. Quando há assimetria (leverage effect), modelos alternativos como GJR-GARCH e EGARCH podem ser mais apropriados.