6 Metodologia Box-Jenkins
6.1 Processos Estacionários
A metodologia de Box et al. (1994) parte da premissa de que a série temporal é estacionária:
\[\begin{cases} \text{série não estacionária} & \Rightarrow \text{diferenciá-la} \\ \text{série estacionária} & \Rightarrow \text{modelagem, inferência e previsão} \end{cases}\]
O procedimento segue as etapas:
- Identificar as ordens \(p\) e \(q\) do modelo.
- Estimar os parâmetros do modelo.
- Verificar se os resíduos não rejeitam \(H_0\) de serem ruído branco.
- Previsão.
Qualquer processo estacionário, mesmo não sendo linear, tem uma representação linear que pode ser decomposta em dois componentes: (i) estocástico e (ii) determinístico.
6.2 Função de Autocorrelação (FAC)
Intuição: a FAC é expressa num gráfico da autocorrelação em função das defasagens. É particularmente importante para identificar a ordem \(q\) de um processo MA, pois a autocorrelação do MA torna-se zero a partir da defasagem \(q\).
No caso de um AR(1), a FAC decai exponencialmente. Num ARMA(\(p\), \(q\)), o padrão pode ter diversas configurações.
Dependendo da magnitude dos coeficientes de \(\phi(L)\) e \(\theta(L)\), o padrão observado na FAC pode diferir do verdadeiro processo gerador de dados.
6.3 Função de Autocorrelação Parcial (FACP)
Intuição: a FACP é representada num gráfico de \(\hat{\phi}_{j,j}\) contra \(j\), obtida estimando repetidamente a regressão:
\[y_t = \phi_{j,1}\,y_{t-1} + \phi_{j,2}\,y_{t-2} + \cdots + \phi_{j,j}\,y_{t-j} + \epsilon_t\]
O procedimento consiste em regredir \(y_t\) contra \(y_{t-1}\) e obter \(\hat{\phi}_{1,1}\); depois regredir \(y_t\) contra \(y_{t-1}\) e \(y_{t-2}\) e guardar \(\hat{\phi}_{2,2}\); e assim sucessivamente.
Em um AR(\(p\)), serão encontrados coeficientes diferentes de zero até \(\hat{\phi}_{p,p}\) — a FACP se torna zero (trunca) após a defasagem \(p\). Num ARMA(\(p\), \(q\)), há decaimento a partir da defasagem \(p\).
6.4 Tabela de Identificação
| Modelo | FAC | FACP |
|---|---|---|
| AR(\(p\)) | Decai (exponencial ou oscilatória) | Truncada em \(p\) |
| MA(\(q\)) | Truncada em \(q\) | Decai |
| ARMA(\(p\), \(q\)) | Decai para \(j > q\) | Decai para \(j > p\) |
6.5 Passo a Passo da Modelagem
- Calcular a média amostral \(\bar{y}\).
- Calcular a autocorrelação amostral \(\hat{\rho}_j\).
- Construir o gráfico \(\hat{\rho}_j\) vs. \(j\) (FAC).
- Identificar a ordem do modelo por meio da FAC e FACP.
- Estimar os coeficientes e os resíduos.
6.6 Teste de Ljung-Box
Se o modelo estiver corretamente especificado, os resíduos devem se comportar como ruído branco — a autocorrelação dos resíduos deve ser zero. O Teste de Ljung-Box avalia:
\[\begin{cases} H_0: \sum_{j=1}^{n} \rho_j = 0 \\ H_1: \sum_{j=1}^{n} \rho_j \neq 0 \end{cases}\]
com estatística de teste:
\[Q = T(T+2) \sum_{j=1}^{n} \frac{\hat{\rho}_j^2}{T - j} \xrightarrow{d} \chi^2_n\]
Se \(H_0\) for rejeitada, ainda há informação relevante nos resíduos. Deve-se testar outras especificações de modelo.
6.7 Critérios de Informação
Intuição: ao incluir mais regressores, a soma de resíduos tende a diminuir. Os critérios de informação penalizam a inclusão excessiva de parâmetros. A estrutura geral é:
\[C = \ln \hat{\sigma}^2(T) + c\,\phi(T)\]
em que \(\hat{\sigma}^2\) é a variância dos resíduos, \(c\) é o número de parâmetros e \(\phi(T)\) é a função de penalização.
Os três critérios mais utilizados são:
\[\text{AIC}(p,q) = \ln \hat{\sigma}^2 + n\,\frac{2}{T}\]
\[\text{BIC}(p,q) = \ln \hat{\sigma}^2 + n\,\frac{\ln T}{T}\]
\[\text{HQ}(p,q) = \ln \hat{\sigma}^2 + n\,\frac{2\ln\ln T}{T}\]
Desejamos o menor valor de um critério de informação. Para uma mesma amostra, costuma valer que \(\text{BIC} \leq \text{HQ} \leq \text{AIC}\).