14 VAR — Inferência, Previsão e Análise de Resíduos
14.1 Inferência com Variáveis Não Estacionárias
Mesmo no mundo multivariado, continuamos a analisar a estacionariedade das séries. O procedimento padrão consiste em verificar se os autovalores do sistema estão dentro do círculo unitário.
Na presença de variáveis não estacionárias, é preciso transformar o modelo de forma que os coeficientes sejam multiplicados por variáveis estacionárias.
Exemplo: suponha \(y_t \sim I(1)\) e \(z_t \sim I(1)\); tomando a 1ª linha de um VAR(2):
\[y_t = \phi_{11,1}\,y_{t-1} + \phi_{12,1}\,z_{t-1} + \phi_{11,2}\,y_{t-2} + \phi_{12,2}\,z_{t-2} + e_{yt}\]
Adicionando e subtraindo \(\phi_{11,2}\,y_{t-1}\) e \(\phi_{12,2}\,z_{t-1}\):
\[y_t = (\phi_{11,1} + \phi_{11,2})\,y_{t-1} + (\phi_{12,1} + \phi_{12,2})\,z_{t-1} - \phi_{11,2}\,\Delta y_{t-1} - \phi_{12,2}\,\Delta z_{t-1} + e_{yt}\]
Como \(\Delta y_{t-1}\) e \(\Delta z_{t-1}\) são estacionários, é possível fazer inferência sobre os coeficientes \(\phi_{11,2}\) e \(\phi_{12,2}\).
14.2 Previsão
A previsão \(h\) passos à frente de um VAR é:
\[E(X_{t+h} \mid I_t) = X_{t+h|t} = \Phi_1\,X_{t+h-1|t} + \Phi_2\,X_{t+h-2|t} + \cdots + \Phi_p\,X_{t+h-p|t}\]
Se o processo for estacionário, a incerteza sobre a previsão é limitada — os erros de previsão de horizontes mais distantes têm variância com limite bem definido.
Na presença de variáveis exógenas, projetam-se essas variáveis e realiza-se a previsão do VAR condicional a essa projeção.
14.3 Análise de Resíduos
14.3.1 Teste de Ljung-Box Multivariado
Mesma lógica do caso univariado, mas testamos a correlação cruzada entre os erros:
\[\begin{cases} H_0: E(e_t\,e_{t-j}') = 0, \quad \forall\, j = 1, 2, \ldots, J > p \\ H_1: E(e_t\,e_{t-j}') \neq 0 \text{ para algum } j \end{cases}\]
Estatística de teste:
\[Q = T \sum_{j=1}^{J} \text{tr}\!\left(\hat{\Gamma}_j\,\hat{\Gamma}_0^{-1}\,\hat{\Gamma}_j'\,\hat{\Gamma}_0^{-1}\right) \sim \chi^2_{n^2(J-p)}\]
14.3.2 Teste de Breusch-Godfrey
Testa a autocorrelação dos resíduos estimando:
\[\hat{e}_t = \Theta_1\,\hat{e}_{t-1} + \Theta_2\,\hat{e}_{t-2} + \cdots + \Theta_h\,\hat{e}_{t-h} + u_t\]
\[\begin{cases} H_0: \Theta_1 = \Theta_2 = \cdots = \Theta_h = 0 \\ H_1: \exists\, i \text{ tal que } \Theta_i \neq 0 \end{cases}\]
14.3.3 Normalidade dos Resíduos
Versão multivariada do teste de Jarque-Bera. Define-se:
\[m_3 = (m_{31}, m_{32}, \ldots, m_{3n})', \quad m_{3i} = \frac{\sum_{t=1}^{T} e_{it}^3}{T}\]
\[m_4 = (m_{41}, m_{42}, \ldots, m_{4n})', \quad m_{4i} = \frac{\sum_{t=1}^{T} e_{it}^4}{T}\]
Sob normalidade:
\[\sqrt{T}\begin{pmatrix} m_3 \\ m_4 - 3_n \end{pmatrix} \sim \mathcal{N}\!\left(0,\begin{pmatrix} 6I_n & 0 \\ 0 & 24I_n \end{pmatrix}\right)\]