9  Sazonalidade e Suavização

9.1 Motivação

Na abordagem tradicional, as séries de tempo são ajustadas por algoritmos determinísticos. A intuição é expurgar fatores que geram perturbações na série e obter uma noção mais precisa da sua trajetória. Dentre os algoritmos de suavização para filtrar a sazonalidade, focamos no uso de médias móveis.

9.2 Modelo de Decomposição Clássico

O modelo clássico assume que a série é o produto de quatro componentes:

\[y_t = C_t \times S_t \times T_t \times U_t\]

em que:

\[\begin{cases} C_t: & \text{componente de ciclo de longo prazo} \\ S_t: & \text{componente sazonal} \\ T_t: & \text{componente de tendência} \\ U_t: & \text{componente irregular} \end{cases}\]

Hipótese: o componente sazonal é fixo para subperíodos iguais.

9.3 Estimação pela Média Móvel Tradicional

Para séries mensal e trimestral, o filtro de médias móveis é:

\[x_t = \begin{cases} \dfrac{0{,}5\,y_{t-6} + y_{t-5} + \cdots + y_{t+5} + 0{,}5\,y_{t+6}}{12} & \text{(mensal)} \\[8pt] \dfrac{0{,}5\,y_{t-2} + y_{t-1} + y_t + y_{t+1} + 0{,}5\,y_{t+2}}{4} & \text{(trimestral)} \end{cases}\]

O filtro de médias móveis elimina os componentes sazonal (\(S_t\)) e irregular (\(U_t\)), de modo que \(x_t = C_t \times T_t\). Dividindo a série original pela média móvel:

\[z_t \equiv \frac{y_t}{x_t} = \frac{C_t \times S_t \times U_t \times T_t}{C_t \times T_t} = S_t \times U_t\]

Intuição: ao dividir a série pela média móvel, isolamos os componentes de sazonalidade e irregular.

9.4 Estimação dos Índices Sazonais

O próximo passo é isolar os termos sazonais do componente irregular. Calculamos a média de \(z_t\) para cada subperíodo:

\[\bar{v}_j = \frac{\displaystyle\sum_{m=0}^{\frac{T-j}{q}} z_{mq+j}}{\dfrac{T-j}{q} + 1}, \qquad j = 1, 2, \ldots, q\]

em que \(q\) é o número de subperíodos (ex.: \(q = 12\) para séries mensais).

Por fim, normalizamos os índices sazonais pela média geométrica:

\[v_j = \frac{\bar{v}_j}{\left(\displaystyle\prod_{j=1}^{q} \bar{v}_j\right)^{1/q}}\]

A normalização fornece uma medida relativa do padrão sazonal, permitindo verificar quanto a série original se difere da série dessazonalizada.

9.5 Série Dessazonalizada

O passo final é dividir a série original pelo índice sazonal correspondente ao período \(t\):

\[s_{mq+j} = \frac{y_{mq+j}}{v_j}\]

A série \(s_t\) está livre do padrão sazonal estimado e pode ser modelada com as técnicas ARMA apresentadas nos capítulos anteriores.