19  Modelos de Heterocedasticidade Condicional — ARCH e GARCH

19.1 Motivação

Nos modelos ARIMA, uma das premissas fundamentais é que \(\epsilon_t\) é ruído branco — em particular, com variância constante (homocedasticidade). Testamos empiricamente essa propriedade com o Teste ARCH-LM. Porém, para alguns problemas econômico-financeiros, como na modelagem de retornos de ativos, a variância condicional varia ao longo do tempo.

A heterocedasticidade condicional é uma característica bastante frequente em séries financeiras. Os modelos ARCH e GARCH foram desenvolvidos para estimar a variância condicional, sem assumir que ela seja constante ao longo do tempo.

19.2 Modelo ARCH(q)

Engle (1982) propôs o modelo mais simples para a variância condicional:

\[\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i\,\epsilon_{t-i}^2\]

A variância condicional no período \(t\) depende dos quadrados dos erros passados. Para que o ARCH(\(q\)) seja estacionário e a variância estimada seja bem definida:

  1. \(\omega > 0\)
  2. \(\alpha_i \geq 0\) para todo \(i\)
  3. \(\sum_{i=1}^{q} \alpha_i < 1\) (Condição de Estabilidade)

19.3 Modelo GARCH(p, q)

Bollerslev (1986) generalizou o modelo ARCH adicionando defasagens da própria variância condicional:

\[\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i\,\epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{p} \beta_j\,\sigma_{t-j}^2\]

A condição suficiente para a estacionariedade exige que as raízes do polinômio da variância estejam fora do círculo unitário, e:

  1. \(\omega > 0\)
  2. \(\alpha_i, \beta_j \geq 0\) para todo \(i\) e \(j\)
  3. \(\sum_{i=1}^{q} \alpha_i + \sum_{j=1}^{p} \beta_j < 1\) (Condição de Estabilidade)
NoteInterpretação dos parâmetros GARCH(1,1)

O modelo GARCH(1,1) — com \(p = q = 1\) — é o mais utilizado na prática:

\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1\,\epsilon_{t-1}^2 + \beta_1\,\sigma_{t-1}^2\]

  • \(\alpha_1\): sensibilidade da variância a choques recentes (news impact).
  • \(\beta_1\): persistência da volatilidade (volatility clustering).
  • \(\alpha_1 + \beta_1\) próximo de 1: alta persistência — choques de volatilidade demoram a dissipar-se.