2 Séries Temporais Univariadas
2.1 Processo Estocástico
Partimos da hipótese de que os dados são uma realização de uma variável aleatória. Um processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias que evoluem ao longo do tempo de forma imprevisível. Nesse sentido, a série temporal
\[[y_1, y_2, \ldots, y_t]\]
é uma possível realização de uma variável aleatória \(Y\).
2.2 Autocovariância e Autocorrelação
Assuma o modelo:
\[\begin{aligned} y_t &= \mu + \epsilon_t \\ \epsilon_t &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \end{aligned}\]
A autocovariância é definida por:
\[\gamma_{jt} \equiv E\!\left[(y_t - \mu_t)(y_{t-j} - \mu_{t-j})\right] = E(\epsilon_t \epsilon_{t-j}) = \begin{cases} \sigma^2, & j = 0 \\ 0, & j \neq 0 \end{cases}\]
Aplicando a definição de correlação, a autocorrelação é:
\[\rho_{jt} = \frac{\gamma_{jt}}{\gamma_{0t}}\]
em que \(\gamma_{0t}\) é a variância (caso \(j = 0\)).
2.3 Estacionariedade
O conceito mais importante para a estimação de séries temporais: nem a esperança nem a autocovariância dependem do tempo.
A série temporal \(\{y_t,\ t \in \mathbb{Z}\}\) é fracamente estacionária se:
- \(E[y_t]^2 < \infty\)
- \(E[y_t] = \mu\) para todo \(t \in \mathbb{Z}\) (média constante)
- \(E\!\left[(y_t - \mu)(y_{t-j} - \mu)\right] = \gamma_j\) (autocovariância independente do tempo)
A série temporal é estritamente estacionária se:
\[F(y_{t_1}, y_{t_2}, \ldots, y_{t_k}) = F(y_{t_1+h}, y_{t_2+h}, \ldots, y_{t_k+h})\]
Intuição: funções de distribuição exibem propriedades estatísticas similares em intervalos de tempo de igual tamanho — os momentos populacionais (quando existem) são independentes do tempo.
- Estacionariedade estrita \(\not\Rightarrow\) Estacionariedade fraca.
- Estacionariedade fraca \(\not\Rightarrow\) Estacionariedade estrita.
- Sequências i.i.d. são estritamente estacionárias, mas sequências estritamente estacionárias não precisam ser independentes.
- Condição necessária para estacionariedade fraca: as raízes da equação característica devem estar fora do círculo unitário.
2.4 Ergodicidade
Intuição: a média temporal da realização observada converge para a média não condicional. Na prática, buscamos séries fracamente estacionárias para as quais a autocovariância converge rapidamente para zero.
2.5 Condição de Estabilidade
Assuma o modelo AR(1):
\[\begin{aligned} y_t &= \phi\, y_{t-1} + \epsilon_t \\ \epsilon_t &\sim \text{iid}(0, \sigma^2) \end{aligned}\]
A variância desse processo é:
\[\begin{aligned} \text{Var}(y_t) &= \phi^2\, \text{Var}(y_{t-1}) + \text{Var}(\epsilon_t) + 2\,\text{Cov}(y_{t-1}, \epsilon_t) \\ &= \phi^2\, \text{Var}(y_{t-1}) + \sigma^2 \\ &= \frac{\sigma^2}{1 - \phi^2} \end{aligned}\]
Para \(\phi = 1\) a variância é infinita; para \(\phi > 1\) a variância é negativa. Nos dois casos a variância não é bem definida. Portanto, para inferência precisamos ter \(|\phi| < 1\).
2.6 Ruído Branco
A sequência \(\{\epsilon_t\}_{t=0}^{\infty}\) é um ruído branco se:
- \(E(\epsilon_t) = 0,\quad \forall\, t\)
- \(E(\epsilon_t^2) = \sigma^2,\quad \forall\, t\)
- \(E(\epsilon_t\, \epsilon_{t-j}) = 0,\quad \forall\, j \neq 0\)
Um ruído branco é simultaneamente: temporalmente homogêneo, estacionário e sem memória.
Nota: a terceira propriedade (autocovariância nula) não é tão forte quanto independência.