11  Processos Não Estacionários II e Teste de Dickey-Fuller

11.1 Recapitulação

Na aula anterior vimos os modelos não estacionários de tendência estocástica (Passeio Aleatório e suas variações), também chamados de diferença estacionária, pois ao diferenciar a série obtemos um processo estacionário com resíduos ruído branco.

No caso da tendência estacionária, a diferenciação também torna a série estacionária, mas os resíduos divergem de um ruído branco. Portanto, é de extrema importância avaliar o tipo de tendência da série antes de tratá-la.

11.2 Remoção da Tendência Determinística

Intuição: estimar uma regressão de \(y_t\) contra \(t\) e modelar os resíduos separadamente.

Formalmente:

  1. Estimar a regressão: \[y_t = \delta_0 + \delta_1\,t + \delta_2\,t^2 + \cdots + \delta_n\,t^n + \epsilon_t\] em que \(e_t = \psi(L)\,\epsilon_t\). Armazenar os resíduos estimados \(\hat{e}_t\).

  2. Estimar um modelo ARMA(\(p\), \(q\)) a partir dos resíduos estimados.

  3. Para determinar \(n\), usar os testes \(t\) e \(F\) convencionais, estimando com \(n\) máximo e reduzindo até que os parâmetros rejeitem a hipótese nula.

11.3 Intuição do Teste de Raiz Unitária

A ordem de integração \(I(d)\) corresponde ao número de raízes unitárias da série temporal. Os Testes de Raiz Unitária verificam \(H_0: \phi = 1\) no modelo AR(1), e também ajudam a distinguir se a série possui tendência determinística ou estocástica.

11.4 Teste de Dickey-Fuller (DF)

Partindo de:

\[\Delta y_t = \alpha\,y_{t-1} + \epsilon_t, \quad \text{em que } \alpha = \phi - 1\]

Testar \(H_0: \alpha = 0\) é equivalente a testar \(H_0: \phi = 1\).

ImportantDistribuição não convencional

Sob \(H_0\), a estatística \(\hat{\tau}\) não segue a distribuição \(t\)-Student. Simulações de Monte Carlo mostram que a distribuição é assimétrica. Dickey and Fuller (1979) recalcularam os valores críticos para esses casos.

11.4.1 Equações do teste

Dickey e Fuller (1979) consideraram três especificações, dependendo da presença de drift e/ou tendência determinística:

\[\begin{aligned} \Delta y_t &= \alpha\,y_{t-1} + \epsilon_t & &\rightarrow \hat{\tau} \\ \Delta y_t &= \mu + \alpha\,y_{t-1} + \epsilon_t & &\rightarrow \hat{\tau}_\mu \\ \Delta y_t &= \mu + \delta\,t + \alpha\,y_{t-1} + \epsilon_t & &\rightarrow \hat{\tau}_\tau \end{aligned}\]

Os \(\tau\) críticos foram mapeados por simulações de Monte Carlo com amostras variando de \(T = 25\) até \(\infty\).

NoteNota importante

Uma série com tendência estacionária não tem raiz unitária (rejeita \(H_0: \alpha = 0\)) e o coeficiente \(\delta\) é significativo.

11.4.2 Passos do teste

  1. Calcular \(\hat{\alpha}\): \[\hat{\alpha} = \frac{\sum_{t=1}^{T} y_{t-1}\,\Delta y_t}{\sum_{t=1}^{T} y_{t-1}^2} - 1\]

  2. Calcular a variância amostral: \[S^2 = \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T}(\Delta y_t - \hat{\alpha}\,y_{t-1})^2\]

  3. Calcular o desvio-padrão de \(\hat{\alpha}\): \[s(\hat{\alpha}) = \frac{S}{\sqrt{\sum_{t=1}^{T} y_{t-1}^2}}\]

  4. Calcular a estatística do teste: \[\hat{\tau} = \frac{\hat{\alpha}}{s(\hat{\alpha})}\]

O critério de rejeição é: se \(\hat{\tau} < \tau_{\text{crítico}}\) (valores negativos), rejeita-se \(H_0\) — não há raiz unitária.