5 Modelos ARMA(p, q)
5.1 Definição
Combinando as expressões de AR(\(p\)) e MA(\(q\)), obtemos o modelo ARMA(\(p\), \(q\)):
\[y_t = c + \sum_{i=1}^{p} \phi_i\, y_{t-i} + \sum_{j=0}^{q} \theta_j\, \epsilon_{t-j}\]
Tomando a esperança:
\[E(y_t) = \frac{c}{1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_i} = \mu\]
Substituindo e reorganizando:
\[y_t = \mu + \sum_{i=1}^{p} \phi_i\,(y_{t-i} - \mu) + \sum_{j=0}^{q} \theta_j\, \epsilon_{t-j} = \mu + \frac{1 + \sum_{j=0}^{q} \theta_j L^j}{1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_i L^i}\,\epsilon_t\]
A partir dessa representação, aplicam-se as mesmas manipulações das Equações de Yule-Walker vistas no caso do AR(2).
5.2 Estrutura de Correlação
\[\begin{cases} h > q: & E[\epsilon_{t-j}(y_{t-h} - \mu)] = 0 \\ h \leq q: & \text{há correlação entre } \epsilon_{t-j} \text{ e } (y_{t-h} - \mu) \end{cases}\]
Na prática, trabalhamos com os casos em que \(h > q\), isto é, o intervalo de cálculo da covariância é maior do que a ordem do componente MA.
5.3 Condição de Estacionariedade
Para estimar modelos ARMA(\(p\), \(q\)) é necessário que sejam estáveis: as raízes dos polinômios característicos dos componentes AR(\(p\)) e MA(\(q\)) devem estar simultaneamente fora do círculo unitário.