12  Testes de Raiz Unitária Avançados

12.1 Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

O teste DF original pressupõe que o erro é ruído branco. Na prática, o erro frequentemente é um processo estacionário qualquer. Suponha \(y_t\) um AR(\(p\)):

\[y_t = \mu + \phi_1\,y_{t-1} + \cdots + \phi_{p-1}\,y_{t-p+1} + \phi_p\,y_{t-p} + \epsilon_t\]

Diferenciando e usando álgebra, obtemos a especificação do Dickey-Fuller Aumentado (ADF):

\[\Delta y_t = \mu + \alpha\,y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i\,\Delta y_{t-i} + \epsilon_t\]

em que \(\alpha = -\left[1 - \sum_{i=1}^{p} \phi_i\right]\) e \(\lambda_i = -\sum_{j=i}^{p-1} \phi_{j+1}\).

TipContribuição de Said e Dickey (1984)

Mesmo que \(y_t\) siga um processo mais complexo com componentes MA, Dickey and Fuller (1979) e Said e Dickey (1984) mostram que modelos ARIMA(\(m\), \(1\), \(n\)) são bem aproximados por um ARIMA(\(p\), \(1\), \(0\)), em que \(p\) é o número de defasagens do AR necessárias para que os resíduos sejam ruído branco. Os valores críticos do teste DF padrão continuam válidos.

12.2 Teste de Phillips-Perron (PP)

O teste de Phillips and Perron (1988) verifica a presença de raiz unitária independentemente das ordens \(p\) e \(q\) de um ARIMA(\(p\), \(1\), \(q\)), sendo consistente mesmo com variáveis defasadas e correlação serial nos erros.

As equações do teste são as mesmas do DF, mas a estatística é corrigida para heterocedasticidade e autocorrelação de forma não paramétrica. Os passos são:

  1. Estimar as médias amostrais: \[\bar{y} = \frac{\sum_{t=1}^{T} y_t}{T}; \qquad \bar{y}_{-1} = \frac{\sum_{t=1}^{T} y_{t-1}}{T}\]

  2. Estimar \(\hat{\alpha}\): \[\hat{\alpha} = \frac{\sum_{t=1}^{T}(y_{t-1} - \bar{y}_{-1})(y_t - \bar{y})}{\sum_{t=1}^{T}(y_{t-1} - \bar{y}_{-1})^2} - 1\]

  3. Estimar o drift: \[\hat{\mu} = \bar{y} - (\hat{\alpha} + 1)\,\bar{y}_{-1}\]

  4. Estimar a variância: \[\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_t^2}{T}\]

  5. Estimar o desvio-padrão de \(\hat{\alpha}\): \[s(\hat{\alpha}) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{\sum_{t=1}^{T} y_{t-1}^2}}\]

  6. Calcular a estatística DF: \(\hat{\tau}_\mu = \hat{\alpha}/s(\hat{\alpha})\).

  7. Estimar a variância de longo prazo (HAC): \[\hat{v}^2 = \hat{\sigma}^2 + \frac{2}{T} \sum_{j=1}^{M} \omega\!\left(\frac{j}{M+1}\right) \sum_{t=j+1}^{T} \hat{u}_t\,\hat{u}_{t-j}\]

  8. Calcular a estatística de Phillips-Perron: \[\hat{z}_{t,\mu} = \hat{\tau}_\mu\left(\frac{\hat{\sigma}}{\hat{v}}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\hat{v}^2 - \hat{\sigma}^2}{\hat{v}\sqrt{T^{-2}\sum_{t=1}^{T} y_{t-1}^2}}\right)\]

NoteLimitação

O teste PP é problemático quando \(\alpha\) é muito próximo de zero, apresentando baixo poder (baixa probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando ela é falsa).

12.3 Teste KPSS

O teste de Kwiatkowski et al. (1992) inverte as hipóteses dos testes tradicionais:

\[\begin{aligned} H_0&: y_t \sim I(0) \quad \text{(estacionário)} \\ H_1&: y_t \sim I(1) \end{aligned}\]

Intuição: o teste complementa os testes tradicionais, incorporando a intuição econômica dos processos. Considera o sistema:

\[\begin{aligned} y_t &= x_t + u_t \\ x_t &= x_{t-1} + \delta_t + v_t \\ \delta_t &= \delta_{t-1} + \zeta_t \end{aligned}\]

em que \(\zeta_t\) é ruído branco. O objetivo é verificar a variância do passeio aleatório \(x_t\):

\[\begin{aligned} H_0&: \sigma_v^2 = 0 \\ H_1&: \sigma_v^2 > 0 \end{aligned}\]

Não rejeitar \(H_0\) fornece evidência adicional de que a série não possui raiz unitária.

12.4 Quebra Estrutural

A análise de quebra estrutural avalia três hipóteses para a série temporal: mudança de nível, mudança de inclinação, ou ambas. Considere um passeio aleatório com drift, avaliando a quebra em \(T_b\):

12.4.1 Caso I — Mudança de Nível

\[\begin{aligned} H_0^A&: y_t = \mu + y_{t-1} + d_1\,DP_t + \epsilon_t \quad \text{(raiz unitária com choque de nível permanente)} \\ H_1^A&: y_t = \mu + \delta\,t + d_2\,DL_t + \epsilon_t \quad \text{(tendência estacionária com mudança permanente de nível)} \end{aligned}\]

em que \(DP_t = \mathbf{1}\{t = T_b + 1\}\) e \(DL_t = \mathbf{1}\{t > T_b\}\).

12.4.2 Caso II — Mudança de Inclinação

\[\begin{aligned} H_0^B&: y_t = \mu + y_{t-1} + d_2\,DL_t + \epsilon_t \\ H_1^B&: y_t = \mu + \delta\,t + d_3\,DS_t + \epsilon_t, \quad DS_t = (t - T_b)\,\mathbf{1}\{t > T_b\} \end{aligned}\]

12.4.3 Caso III — Mudança Transitória + Permanente

\[\begin{aligned} H_0^C&: y_t = \mu + y_{t-1} + d_1\,DP_t + d_2\,DL_t + \epsilon_t \\ H_1^C&: y_t = \mu + \delta\,t + d_2\,DL_t + d_3\,DS_t + \epsilon_t \end{aligned}\]

12.4.4 Procedimento

  1. Obter os resíduos \(\hat{y}_t^h\) para os casos \(h = A, B, C\).
  2. Estimar a regressão: \[\Delta \hat{y}_t^h = \alpha\,\hat{y}_{t-1}^h + \sum_{i=1}^{p} \lambda_i\,\Delta\hat{y}_{t-i}^h + \epsilon_t\]
  3. Comparar a estatística \(t\) de \(\hat{\alpha}\) com os valores críticos de Perron (1989).

12.5 Decomposição de Beveridge-Nelson

Motivação: separar o efeito cíclico de curto prazo da tendência de longo prazo da série (ex.: uma queda no PIB é ciclo ou tendência?).

Para um ARIMA(\(p\), \(1\), \(q\)) com drift, usando a decomposição matemática \(\psi(L) = \psi(1) + (1-L)\psi^*(L)\):

\[y_t = y_0 + \delta\,t + \psi(1)\sum_{j=1}^{t}\epsilon_j + \psi^*(L)(\epsilon_t - \epsilon_0)\]

A primeira parte é um passeio aleatório (componente permanente):

\[p_t = p_{t-1} + \delta + \psi(1)\,\epsilon_t\]

A variância \(\psi(1)^2\sigma^2\) do componente permanente tem interpretação econômica relevante:

  • \(\psi(1) > 1\): ciclo tende a suavizar os choques de longo prazo.
  • \(\psi(1) < 1\): ciclo tende a acentuar os choques sobre \(p_t\).

12.5.1 Operacionalização

  1. Estimar o modelo ARIMA(\(p\), \(1\), \(q\)) e obter \(\hat{\psi}(L)\), \(\hat{\epsilon}_t\), \(\hat{\delta}\).
  2. Calcular \(\hat{\psi}(1) = \sum_{j=0}^{\infty} \hat{\psi}_j\).
  3. Calcular o componente permanente: \(\hat{p}_t = \hat{\delta} + \hat{p}_{t-1} + \hat{\psi}(1)\,\hat{\epsilon}_t\).
  4. Calcular o componente cíclico: \(\hat{c}_t = y_t - \hat{p}_t\).