18 VECM — Modelo e Estimação
18.1 Introdução
Quando há cointegração, o VAR original pode ser escrito na forma de correção de erros (VECM). A intuição é que o vetor \(u_t = X_t\beta\) (estacionário, dado cointegração) deve ser incluído no VAR para capturar o ajustamento de curto prazo ao equilíbrio de longo prazo.
18.2 Modelo VECM Bivariado
Para \(X_t = [y_t,\ z_t]'\) e relação de cointegração \(u_t = y_t - \beta\,z_t\):
\[\begin{aligned} \Delta y_t &= \alpha_1\,\hat{u}_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1} \lambda_{11,j+1}\,\Delta y_{t-j} + \sum_{j=1}^{p-1} \lambda_{12,j+1}\,\Delta z_{t-j} + e_{yt} \\ \Delta z_t &= \alpha_2\,\hat{u}_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1} \lambda_{21,j+1}\,\Delta y_{t-j} + \sum_{j=1}^{p-1} \lambda_{22,j+1}\,\Delta z_{t-j} + e_{zt} \end{aligned}\]
Não incluir o vetor \(\hat{u}_t\) é equivalente a omitir uma variável explicativa, podendo resultar em estimativas viesadas.
18.3 Derivação Algébrica
18.3.1 Preliminares de Álgebra Linear
Para verificar estacionariedade do VAR por meio dos autovalores da matriz de coeficientes, lembramos que:
\[|\Phi(I)| = 0 \;\Rightarrow\; \text{Posto}(\Phi) < n \;\Rightarrow\; \text{processo tem raiz unitária}\]
18.3.2 Derivação a partir de um VAR(2)
Partindo de \(X_t = \Phi_1\,X_{t-1} + \Phi_2\,X_{t-2} + e_t\) e usando o operador de defasagem:
\[\Phi(L)X_t = e_t, \quad \Phi(1) = [I - (\Phi_1 + \Phi_2 + \cdots + \Phi_p)] := -\Phi\]
Subtraindo e adicionando \(\Phi_2\,X_{t-1}\), e depois subtraindo \(X_{t-1}\):
\[\Delta X_t = \Phi\,X_{t-1} - \Phi_2\,\Delta X_{t-1} + e_t\]
Caso haja cointegração, a primeira parte da equação (\(\Phi\,X_{t-1}\)) é o componente de longo prazo.
Se \(|\Phi| = 0\) (posto \(< n\)), podemos decompor \(\Phi = \alpha\,\beta'\), em que \(\beta\) é o vetor de cointegração e \(\alpha\) são os coeficientes de ajuste (velocidades de correção de erro).
18.4 Estimação em Duas Etapas
Para o caso mais simples (VAR(0)):
\[\begin{aligned} y_t &= \pi\,x_t + e_t \\ \Delta y_t &= \pi\,\Delta x_t - (y_{t-1} - \pi\,x_{t-1}) + e_t = \pi\,\Delta x_t - \begin{pmatrix} y_{t-1} \\ x_{t-1} \end{pmatrix}' \begin{pmatrix} 1 \\ -\pi \end{pmatrix} + e_t \end{aligned}\]
Estimação:
- Estimar os resíduos \(\hat{u}_t = y_t - \hat{\beta}_1\,x_t\).
- Incluir os resíduos na regressão em diferença: \(\Delta y_t = \pi\,\Delta x_t + \alpha\,\hat{u}_{t-1} + e_t\).
em que \(\hat{u}_{t-1} = X_{t-1}\,\beta'\).
18.5 Teste de Cointegração de Johansen
O teste de Johansen baseia-se nos autovalores da matriz \(\Phi\) para determinar o número de vetores de cointegração (posto de \(\Phi\)).
O posto \(r\) da matriz pode ser:
\[\begin{cases} 0 < r < n: & \text{há } r \text{ vetores de cointegração} \\ r = 0: & \text{não há cointegração; variáveis são não estacionárias} \\ r = n: & \text{todas as variáveis endógenas são estacionárias} \end{cases}\]
O número de raízes unitárias é igual ao número de autovalores de \(\Phi\) iguais a zero. A estatística do traço é:
\[\lambda_{\text{traço}}(r) = -T \sum_{i=r+1}^{n} \ln(1 - \hat{\lambda}_i)\]
em que \(\hat{\lambda}_i\) são os autovalores estimados em ordem decrescente. Autovalores próximos de zero indicam ausência de cointegração.