17 Cointegração e Vetor de Correção de Erros (VECM) — I
17.1 Introdução
Os modelos ARIMA são criticados por seu caráter puramente estatístico, com pouca intuição econômica. Ao introduzir modelos multivariados para séries não estacionárias, incorporamos essa fundamentação econômica.
Em especial, se a dinâmica de duas séries tem um comportamento comum, é possível avaliar as trajetórias de curto e longo prazo. O conceito central é a cointegração (Engle and Granger (1987)).
17.2 Cointegração
Os elementos do vetor \(X_t\) (\(n \times 1\)) são ditos cointegrados de ordem \((d, b)\), denotados \(X_t \sim CI(d, b)\), se:
- Todos os elementos de \(X_t\) são \(I(d)\).
- Existe um vetor \(\beta\) tal que \(u_t = X_t'\beta \sim I(d - b)\), com \(b > 0\).
O segundo ponto indica se o sistema está ou não em equilíbrio de longo prazo. O vetor \(\beta\) é chamado de vetor de cointegração.
Para o caso bivariado:
\[u_t = \begin{pmatrix} x_{1t} & x_{2t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{\beta}_1 \\ \tilde{\beta}_2 \end{pmatrix} = \tilde{\beta}_1\,x_{1t} + \tilde{\beta}_2\,x_{2t}\]
Dois cenários:
- \(u_t = 0\) \(\Rightarrow\) variáveis em equilíbrio de longo prazo.
- \(u_t \neq 0\) \(\Rightarrow\) desvios de curto prazo do equilíbrio.
Para obter um vetor único, normalizamos por \(1/\tilde{\beta}_1\):
\[u_t = x_{1t} + \beta_2\,x_{2t}\]
17.2.1 Variáveis com ordens de integração diferentes
Se \(y_t, x_t \sim I(2)\) e \(z_t \sim I(1)\), é possível construir combinações lineares que resultem em processos estacionários:
\[\begin{aligned} \frac{1}{\pi_1}\,y_t + \frac{\beta_0}{\pi_1}\,x_t &= w_t \sim I(1) \\ \pi_1\,w_t + \pi_2\,z_t &= u_t \sim I(0) \end{aligned}\]
17.3 Teste de Engle-Granger
Engle and Granger (1987) propõem uma metodologia de três passos para verificar cointegração. Supondo um sistema bivariado com \(y_t\) e \(x_t \sim CI(1,1)\):
- Executar o teste de raiz unitária nas variáveis de interesse.
- Estimar a relação de longo prazo e armazenar os resíduos \(\tilde{u}_t\).
- Fazer um novo teste de raiz unitária nos resíduos estimados: \[\Delta \hat{u}_t = \alpha\,\hat{u}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_{i+1}\,\Delta\hat{u}_{t-i} + v_t\]
Se as variáveis forem cointegradas, os resíduos serão estacionários. Se \(H_0: \alpha = 0\) é rejeitada (não há raiz unitária), os resíduos são estacionários e as variáveis cointegram.
17.4 Teste para Multicointegração
Para verificar se combinações lineares entre variáveis \(I(2)\) e \(I(1)\) resultam em processo estacionário, supondo \(x_{1t}, x_{2t}, x_{3t} \sim I(2)\) e \(y_t \sim I(1)\):
\[x_{it} = \mu + \delta\,t + b_2\,x_{2t} + b_3\,x_{3t} + \gamma_2\,\Delta x_{2t} + \gamma_3\,\Delta x_{3t} + y'\omega + u_t\]
Teste de raiz unitária nos resíduos:
\[\Delta \hat{z}_t = \alpha\,\hat{z}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_{i+1}\,\Delta\hat{z}_{t-i} + u_t\]
Rejeitar \(H_0: \alpha = 0\) indica que não há raiz unitária — as variáveis cointegram.