16 Causalidade de Granger e VAR Estrutural (SVAR)
16.1 Causalidade de Granger
Pergunta fundamental: como saber se uma variável é capaz de prever outra?
A causalidade de Granger indica se movimentos num escalar \(y\) antecedem os movimentos do escalar \(z\).
Atenção: não confundir com efeito causal de uma política ou intervenção — trata-se de precedência temporal, não causalidade estrutural.
O procedimento é um teste F para os coeficientes de interesse (assumindo que eles multiplicam variáveis estacionárias):
\[z_t = \phi_{20} + \sum_{i=1}^{p} \phi_{i,21}\,y_{t-i} + \sum_{i=1}^{p} \phi_{i,22}\,z_{t-i} + e_{2t}\]
\[\begin{cases} H_0: \phi_{1,21} = \phi_{2,21} = \cdots = \phi_{p,21} = 0 \\ H_1: \phi_{i,21} \neq 0 \text{ para algum } i \end{cases}\]
Estatística de teste:
\[S_1 = \frac{(e_r^2 - e_u^2)/p}{e_u^2/(T - 2p - 1)} \sim F(p,\, T - 2p - 1)\]
em que \(e_r^2\) é a soma de resíduos ao quadrado do modelo restrito e \(e_u^2\) do irrestrito.
Para \(n > 2\) variáveis, o teste é mais complexo e a interpretação requer mais cuidados.
16.2 VAR Estrutural (SVAR)
A Decomposição de Cholesky permite recuperar os parâmetros estruturais do VAR por meio da diagonalização da matriz de coeficientes. Entretanto, nem sempre há restrições suficientes para montar essa matriz diagonal — por exemplo, nem sempre podemos assumir efeito contemporâneo nulo entre variáveis econômicas.
O SVAR é um modelo mais genérico que permite testar diferentes restrições. Partindo de um VAR(1):
\[AX_t = B_0 + B_1\,X_{t-1} + B\,\epsilon_t\]
Ao estimar a forma reduzida, obtêm-se os resíduos \(\hat{e}_t\) tal que \(B\hat{\epsilon}_t = A\hat{e}_t\).
16.3 Identificação do SVAR
O desafio é restringir o sistema para recuperar \(\epsilon_t\) sob a hipótese de que cada resíduo da forma estrutural é independente. A matriz de covariância dos erros da forma reduzida é:
\[\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_{nn} \end{pmatrix}\]
em que \(\hat{\sigma}_{ij} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} \hat{e}_{it}\,\hat{e}_{jt}\).
Para recuperar os parâmetros estruturais, usamos o resultado:
\[BB' = \text{Var}(Ae_t) = A\,\text{Var}(e_t)\,A'\]
Esta expressão resulta num sistema que requer \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) restrições para ser resolvido. A Decomposição de Cholesky para uma matriz \(2 \times 2\) é um caso particular dessa regra.
16.4 Estimação do SVAR por Máxima Verossimilhança
Após impor as restrições, o modelo estrutural pode ser estimado por MV. A função de log-verossimilhança é:
\[\ln L(A, B) = -\frac{n(T-p)}{2}\ln(2\pi) - \frac{T-p}{2}\ln|A^{-1}BB'A^{-1'}| - \frac{1}{2}\sum_{t=p+1}^{T}(X_t - AY_t)'(A^{-1}BB'A^{-1'})^{-1}(X_t - AY_t)\]
A maximização (demonstrada em Lütkepohl (2005)) fornece a matriz de variância e covariância dos resíduos do VAR reduzido:
\[\hat{\Sigma} = \frac{(X - \hat{A}Z)(X - \hat{A}Z)'}{T}\]