4 Processos Autoregressivos — AR(p)
4.1 Conceito e Definição
Intuição: os processos autoregressivos (AR) são compostos por defasagens da variável dependente \(y_t\) e um termo de erro \(\epsilon_t\) ruído branco. O modelo mais simples, AR(1), é:
\[\begin{cases} y_t = c + \phi\, y_{t-1} + \epsilon_t \\ \epsilon_t \sim \text{RB}(0, \sigma^2) \end{cases}\]
Admitindo a condição de estabilidade \(|\phi| < 1\), queremos verificar se o processo tem variância finita.
4.2 Representação MA(\(\infty\))
Usando o operador de defasagens \(L\) (onde \(Ly_t = y_{t-1}\)):
\[\begin{aligned} (1 - \phi L)\,y_t &= c + \epsilon_t \\ y_t &= \frac{c}{1 - \phi} + \sum_{j=0}^{\infty} \phi^j\, \epsilon_{t-j} \end{aligned}\]
A última expressão lembra a generalização MA(\(q\)), indicando que um AR(1) estacionário pode ser representado como um MA(\(\infty\)).
4.3 Momentos do AR(1)
Da representação MA(\(\infty\)) obtemos diretamente:
\[E(y_t) = \frac{c}{1 - \phi} = \mu\]
\[\text{Var}(y_t) = E(y_t - \mu)^2 = \frac{\sigma^2}{1 - \phi^2}\]
\[E\!\left[(y_t - \mu)(y_{t-j} - \mu)\right] = \frac{\phi^j}{1 - \phi^2}\,\sigma^2\]
Como média e autocovariância não dependem do tempo, o processo é fracamente estacionário. A função de autocorrelação (FAC) do AR(1) é \(\rho_j = \phi^j\) — decaimento exponencial.
4.4 AR(2) e Equações de Yule-Walker
O modelo AR(2) é:
\[y_t = c + \phi_1\, y_{t-1} + \phi_2\, y_{t-2} + \epsilon_t\]
A média é:
\[E(y_t) = \frac{c}{1 - \phi_1 - \phi_2}\]
Para derivar a estrutura de autocorrelação, centramos o AR(2) na média e tomamos a esperança do produto por \((y_{t-j} - \mu)\), obtendo as Equações de Yule-Walker:
\[\begin{cases} \gamma_j = \phi_1\,\gamma_{j-1} + \phi_2\,\gamma_{j-2} \\ \rho_j = \phi_1\,\rho_{j-1} + \phi_2\,\rho_{j-2} \end{cases}\]
Essas equações permitem verificar a função de autocorrelação do processo AR(2).
4.5 Generalização: AR(p)
\[y_t = c + \sum_{j=1}^{p} \phi_j\, y_{t-j} + \epsilon_t\]
Se as raízes do polinômio característico \((1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \cdots - \phi_p z^p)\) estiverem fora do círculo unitário, o processo AR(\(p\)) será fracamente estacionário e poderá ser representado por um MA(\(\infty\)).