15 VAR — Função de Impulso-Resposta (IRF)
15.1 Motivação
Não é possível recuperar diretamente os parâmetros da forma estrutural do VAR a partir da forma reduzida. A Função de Impulso-Resposta (IRF) impõe restrições na matriz de coeficientes \(A\) de forma a resolver esse problema.
15.2 Decomposição de Cholesky — Sims (1980)
Sims (1980) propôs assumir que o efeito feedback é limitado, com base na teoria econômica. Por exemplo, para um sistema bivariado \(\{y_t, z_t\}\):
\[\begin{aligned} y_t &= b_{10} + b_{11}\,y_{t-1} + b_{12}\,z_{t-1} + e_{yt} \\ z_t &= b_{20} - a_{21}\,y_t + b_{21}\,y_{t-1} + b_{22}\,z_{t-1} + e_{zt} \end{aligned}\]
A restrição imposta é que \(z_t\) não afeta contemporaneamente \(y_t\), ou seja, \(a_{12} = 0\). A ordem das equações impacta o sentido das restrições impostas.
15.3 Recuperando os Parâmetros Estruturais
Para a matriz de erros, obtemos:
\[\begin{aligned} \text{Var}(e_1) &= \sigma_y^2 \\ \text{Var}(e_2) &= \sigma_z^2 + a_{21}^2\,\sigma_y^2 \\ \text{Cov}(e_1, e_2) &= -a_{21}\,\sigma_y^2 \end{aligned}\]
Para a matriz de coeficientes, o sistema bivariado fornece:
\[\begin{aligned} \phi_{10} &= b_{10} & \phi_{11} &= b_{11} & \phi_{12} &= b_{12} \\ \phi_{20} &= -a_{21}\,b_{10} + b_{20} & \phi_{21} &= -a_{21}\,b_{11} + b_{21} & \phi_{22} &= -a_{21}\,b_{12} + b_{22} \end{aligned}\]
Essa metodologia pode ser generalizada para um vetor com \(n\) variáveis endógenas pela Decomposição de Cholesky.
15.4 Representação VMA(\(\infty\))
Se o sistema for estacionário, um VAR(\(p\)) pode ser reescrito como um vetor de médias móveis infinito VMA(\(\infty\)). Definindo a média de longo prazo \(\bar{X} = (I - \Phi_1)^{-1}\Phi_0\):
\[X_t = \bar{X} + \sum_{i=0}^{\infty} \Phi_1^i\,e_{t-i} = \bar{X} + \sum_{i=0}^{\infty} \begin{pmatrix} \psi_{i,11} & \psi_{i,12} \\ \psi_{i,21} & \psi_{i,22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_y\,\epsilon_{yt-i} \\ \sigma_z\,\epsilon_{zt-i} \end{pmatrix}\]
A IRF de um VAR(\(p\)) é o gráfico dos coeficientes \(\psi_{i,jk}\) ao longo do tempo \(i\). Os coeficientes medem o efeito de um choque unitário na variável \(k\) sobre a variável \(j\), \(i\) períodos à frente.
Como se trata de estimativas, apresenta-se também o intervalo de confiança, calculado analiticamente ou por simulações de Monte Carlo.
15.5 Decomposição de Variância
A partir da variância dos resíduos, é possível auferir o peso relativo de cada variável nos erros de previsão (Forecast Error Variance Decomposition — FEVD). Essa decomposição indica qual fração da variância do erro de previsão de uma variável é explicada por choques nas demais variáveis do sistema.