3 Médias Móveis — MA(q)
3.1 Conceito e Definição
Intuição: os modelos de Médias Móveis (MA) são compostos apenas pelo termo de erro \(\epsilon_t\) e suas defasagens. Em sua versão mais simples, o MA(1) é:
\[\begin{cases} y_t = \mu + \epsilon_t + \theta\, \epsilon_{t-1} \\ \epsilon_t \sim \text{RB}(0, \sigma^2) \end{cases}\]
Como um ruído branco é fracamente estacionário, modelos MA são por natureza fracamente estacionários — trata-se de uma combinação linear de ruídos brancos.
3.2 Verificação de Estacionariedade de um MA(1)
A esperança é:
\[E(y_t) = \mu + E(\epsilon_t) + \theta\, E(\epsilon_{t-1}) = \mu\]
A variância é:
\[\begin{aligned} \text{Var}(y_t) &= E(y_t - \mu)^2 = E(\epsilon_t + \theta\, \epsilon_{t-1})^2 \\ &= E\!\left(\epsilon_t^2 + 2\theta\, \epsilon_t\, \epsilon_{t-1} + \theta^2\, \epsilon_{t-1}^2\right) \\ &= (1 + \theta^2)\sigma^2 \end{aligned}\]
A autocovariância de ordem 1 é:
\[\begin{aligned} E\!\left[(y_t - \mu)(y_{t-1} - \mu)\right] &= E\!\left[(\epsilon_t + \theta\, \epsilon_{t-1})(\epsilon_{t-1} + \theta\, \epsilon_{t-2})\right] \\ &= E\!\left[\epsilon_t\,\epsilon_{t-1} + \theta\,\epsilon_t\,\epsilon_{t-2} + \theta\,\epsilon_{t-1}^2 + \theta^2\,\epsilon_{t-1}\,\epsilon_{t-2}\right] \\ &= \theta\,\sigma^2 \end{aligned}\]
Como média e autocovariância não dependem do tempo, o MA(1) é fracamente estacionário.
3.3 Generalização: MA(q)
Os modelos de médias móveis podem ser generalizados pela expressão:
\[\text{MA}(q):\quad y_t = \mu + \sum_{j=0}^{q} \theta_j\, \epsilon_{t-j}, \quad \theta_0 = 1\]
A partir da defasagem \(q\), a autocorrelação do processo MA(q) é identicamente zero. Essa propriedade é fundamental para identificar a ordem \(q\) do modelo a partir da Função de Autocorrelação (FAC).