8 Diagnóstico de Resíduos
8.1 Motivação
Uma das hipóteses fundamentais dos modelos ARMA(\(p\), \(q\)) é o termo de erro ruído branco. Se rejeitamos \(H_0\) no Teste de Ljung-Box, ainda há informação relevante nos resíduos que pode ser melhor capturada pelo economista. O objetivo é buscar um modelo em que a FAC e a FACP dos resíduos não apresentem qualquer memória.
8.2 Teste de Normalidade — Função Kernel
A análise gráfica da distribuição dos resíduos quanto à sua média e simetria é o primeiro indicador. Outliers podem dificultar que o histograma se comporte como o da Distribuição Normal. Utiliza-se uma função suavizadora (Kernel) para uma análise mais parcimoniosa:
\[\hat{f}_h(\epsilon) = \frac{\sum_{t=1}^{T} K\!\left(\dfrac{\epsilon - \hat{\epsilon}_t^s}{h}\right)}{T\,h}\]
em que:
- \(h\): largura da janela de suavização.
- \(K(\cdot)\): função Kernel, tipicamente uma fdp simétrica em zero.
- \(\hat{\epsilon}_t^s = \dfrac{\hat{\epsilon}_t - \overline{\hat{\epsilon}}_t}{\hat{\delta}}\): resíduo padronizado.
Intuição: a ponderação coloca menos peso nos erros mais distantes (outliers).
8.3 Teste de Jarque-Bera
O teste de Jarque-Bera verifica normalidade por meio dos terceiro e quarto momentos da distribuição. Para a Normal, a assimetria (3º momento) é zero e a curtose (4º momento) é \(\approx 3\).
\[\begin{cases} H_0: E(\epsilon_t^s)^3 = 0 \quad \wedge \quad E(\epsilon_t^s)^4 = 3 \\ H_1: E(\epsilon_t^s)^3 \neq 0 \quad \vee \quad E(\epsilon_t^s)^4 \neq 3 \end{cases}\]
Estatística de teste:
\[JB = \frac{T}{6}\left[\frac{\sum_{t=1}^{T}(\hat{\epsilon}_t^s)^3}{T}\right]^2 + \frac{T}{24}\left[\frac{\sum_{t=1}^{T}(\hat{\epsilon}_t^s)^4 - 3}{T}\right]^2 \xrightarrow{d} \chi^2_2\]
- Rejeitar \(H_0\) \(\Rightarrow\) Não normalidade.
- Não rejeitar \(H_0\) \(\not\Rightarrow\) Normalidade (condição necessária, mas não suficiente).
8.4 Teste LM de Autocorrelação de Resíduos
Testa a autocorrelação dos resíduos (não confundir com o Teste de Ljung-Box para autocorrelação amostral). Parte-se da regressão auxiliar:
\[\hat{\epsilon}_t = \beta_1\,\hat{\epsilon}_{t-1} + \beta_2\,\hat{\epsilon}_{t-2} + \cdots + \beta_h\,\hat{\epsilon}_{t-h} + u_t\]
Se os resíduos forem autocorrelacionados, os \(\hat{\beta}\)s serão diferentes de zero.
\[\begin{cases} H_0: \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_h = 0 \\ H_1: \exists\, i \text{ tal que } \beta_i \neq 0 \end{cases}\]
Estatística de teste: \(LM_h = T \times R^2 \xrightarrow{d} \chi^2_h\).
8.5 Teste ARCH-LM
Verifica heterocedasticidade condicional dos resíduos. Parte-se da regressão auxiliar com os resíduos ao quadrado:
\[\hat{\epsilon}_t^2 = \beta_1\,\hat{\epsilon}_{t-1}^2 + \beta_2\,\hat{\epsilon}_{t-2}^2 + \cdots + \beta_h\,\hat{\epsilon}_{t-h}^2 + u_t\]
\[\begin{cases} H_0: \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_h = 0 \\ H_1: \exists\, i \text{ tal que } \beta_i \neq 0 \end{cases}\]
Estatística de teste: \(\text{ARCH-LM}_h = T \times R^2 \xrightarrow{d} \chi^2_h\).
Se \(H_0\) é rejeitada, a variância condicional não é constante — indício da necessidade de modelagem ARCH/GARCH.