10 Processos Não Estacionários I
10.1 Motivação
Até o momento, focamos em séries de retornos que tendem a ser estacionárias. Porém, em muitos estudos temos interesse em outras séries temporais como taxa de juros, câmbio, inflação e crescimento econômico. Quando a série temporal não é estacionária, não se pode estimá-la trivialmente.
O procedimento básico é diferenciar a série tantas vezes quantas sejam necessárias para estacionarizá-la. De modo geral:
\[y_t = \underbrace{\text{tendência}}_{\text{não estacionária}} + \underbrace{\text{componente estacionário}}_{\text{modelável}} + \underbrace{\text{ruído}}_{}\]
10.2 Séries Integradas
Considere o modelo:
\[y_t = y_{t-1} + \delta + \epsilon_t\]
Este é um AR(1) com coeficiente \(\phi = 1\), que não tem variância definida (viola a condição de estabilidade). Ao diferenciar a série:
\[\Delta y_t = \delta + \epsilon_t\]
é fácil verificar que a série diferenciada é estacionária.
Uma série cuja estacionariedade é alcançada por diferenciação é chamada de tendência estocástica. Séries com tendência estocástica são chamadas séries integradas e denotadas por \(I(d)\), em que \(d\) é o número de diferenciações necessárias.
Quando o termo de erro \(\epsilon_t\) é estacionário, a série é chamada ARIMA(\(p\), \(d\), \(q\)).
10.3 Passeio Aleatório
Para \(I(1)\) com \(\delta = 0\) (sem drift):
\[y_t = y_{t-1} + \epsilon_t\]
Reescrevendo recursivamente:
\[y_t = y_0 + \sum_{i=1}^{t} \epsilon_i\]
A previsão condicional é simplesmente a observação atual:
\[E_t(y_{t+h}) = y_t + \sum_{h=1}^{H} E_t(\epsilon_{t+h}) = y_t\]
A variância, a covariância e a autocorrelação dependem do tempo:
\[\begin{aligned} \text{Var}(y_t) &= t\,\sigma^2 \\ \text{Cov}(y_t, y_{t-j}) &= (t-j)\,\sigma^2 \\ \rho_j &= \sqrt{1 - \frac{j}{t}} \end{aligned}\]
Em um processo não estacionário, a autocorrelação demora a cair — a FAC amostral apresenta decaimento muito lento.
10.4 Passeio Aleatório com Drift
Para \(I(1)\) com \(\delta \neq 0\):
\[y_t = y_{t-1} + \delta + \epsilon_t \quad \Rightarrow \quad y_t = y_0 + \delta\,t + \sum_{i=1}^{t} \epsilon_i\]
\(y_t\) depende de um componente determinístico (\(\delta\,t\)) e de um componente estocástico (\(\sum \epsilon_i\)). A previsão condicional é:
\[E_t(y_{t+h}) = y_t + \delta\,H\]
10.5 Passeio Aleatório com Ruído
Adicionando um ruído branco \(\eta_t\) ao passeio aleatório puro:
\[y_t = y_0 + \sum_{i=1}^{t} \epsilon_i + \eta_t\]
Após diferenciar: \(\Delta y_t = \epsilon_t + \Delta\eta_t\).
Este modelo I(1) possui autocorrelação menor do que o passeio aleatório puro:
\[\begin{aligned} \text{Var}(y_t) &= t\,\sigma^2 + \sigma_\eta^2 \\ \text{Cov}(y_t, y_{t-j}) &= (t-j)\,\sigma^2 \\ \rho_j &= \frac{(t-j)\,\sigma^2}{\sqrt{(t\,\sigma^2 + \sigma_\eta^2)[(t-j)\sigma^2 + \sigma_\eta^2]}} < \sqrt{1 - \frac{j}{t}} \end{aligned}\]
10.6 Tendência Estacionária
Considere o modelo:
\[y_t = y_0 + \delta\,t + \psi(L)\,\epsilon_t\]
em que \(f(t) = y_0 + \delta\,t\) é chamada de tendência determinística e \(\psi(L)\) é um polinômio no operador de defasagem que captura a estrutura dinâmica estocástica.
Ao diferenciar:
\[\Delta y_t = (1-L)\,y_t = \delta + (1-L)\,\psi(L)\,\epsilon_t\]
A diferenciação de uma série com tendência estacionária não é a melhor abordagem — os resíduos diferenciados divergem de um ruído branco. Veremos o tratamento correto no próximo capítulo.
10.7 Modelo Geral
O modelo mais geral inclui tendência determinística e estocástica além de erros ARMA(\(p\), \(q\)):
\[y_t = y_0 + \delta\,t + \psi(L)\,\eta_t + \sum_{i=1}^{t} \epsilon_i\]
em que \(\eta_t\) é um ruído branco.