13 Vetores Autoregressivos (VAR) — Introdução
13.1 Motivação
Conforme discutimos no curso, modelos univariados são limitados. A intuição de um VAR é permitir que diversas variáveis sejam modeladas simultaneamente por meio de um sistema de equações.
13.2 Forma Estrutural
O VAR estrutural é dado por:
\[AX_t = B_0 + \sum_{i=1}^{p} B_i\,X_{t-i} + B\,\epsilon_t\]
em que:
- \(A\): matriz de restrições (\(m \times n\))
- \(X_t\): vetor de variáveis endógenas (\(n \times 1\))
- \(B_0\): vetor de constantes (\(n \times 1\))
- \(B_i\): matrizes de coeficientes (\(m \times n\))
- \(B\): matriz diagonal (\(m \times n\))
- \(\epsilon_t\): vetor de choques estruturais (\(n \times 1\)), \(\epsilon_t \sim \text{IID}(0, I_n)\)
Os choques estruturais afetam diferentemente cada variável do sistema.
13.3 Forma Reduzida
Na prática, estimamos a forma reduzida do VAR, pré-multiplicando por \(A^{-1}\):
\[\begin{aligned} X_t &= A^{-1}B_0 + \sum_{i=1}^{p} A^{-1}B_i\,X_{t-i} + A^{-1}B\,\epsilon_t \\ &= \Phi_0 + \sum_{i=1}^{p} \Phi_i\,X_{t-i} + e_t \end{aligned}\]
Para um sistema bivariado \(\{y_t, z_t\}\), um exemplo de forma estrutural é:
\[\begin{aligned} y_t &= b_{10} - a_{12}\,z_t + b_{11}\,y_{t-1} + b_{12}\,z_{t-1} + \sigma_y\,\epsilon_{yt} \\ z_t &= b_{20} - a_{21}\,y_t + b_{21}\,y_{t-1} + b_{22}\,z_{t-1} + \sigma_z\,\epsilon_{zt} \end{aligned}\]
As variáveis \(y_t\) e \(z_t\) se afetam mutuamente — há um efeito feedback que inviabiliza a estimação direta. Hipóteses de trabalho:
- \(y_t\) e \(z_t\) são estacionários.
- \(\epsilon_{yt} \sim \text{RB}(0,1)\) e \(\epsilon_{zt} \sim \text{RB}(0,1)\).
- \(\epsilon_{yt} \perp \epsilon_{zt}\) (covariância nula).
A grande questão é se, a partir da forma reduzida, é possível recuperar os parâmetros da forma estrutural. Somente por meio de modelos estruturais é possível formular políticas econômicas cujos resultados estejam em conformidade com o esperado.
13.4 Inclusão de Variáveis Exógenas
Com variáveis exógenas \(Z_t\):
\[X_t = \Phi_0 + \sum_{i=1}^{p} \Phi_i\,X_{t-i} + G\,Z_t + e_t\]
em que \(G\) é uma matriz de coeficientes \(n \times g\) e \(Z_t\) é um vetor de variáveis exógenas.
Diferenças entre modelos univariados e multivariados:
- Univariados: foco em previsão.
- Multivariados: foco na trajetória da série dado um choque estrutural.
13.5 Especificação do Modelo — Critérios de Informação
A especificação da ordem \(p\) pode ser feita pelos critérios de informação multivariados, com estrutura:
\[Cr(m) = \ln|\hat{\Gamma}_0| + c_\tau\,\phi_m\]
em que \(\hat{\Gamma}_0 = \frac{\sum_{t=1}^{T} \hat{e}_t\,\hat{e}_t'}{T}\).
Lütkepohl (2005) mostra que \(\hat{p}(\text{BIC}) \leq \hat{p}(\text{HQ}) \leq \hat{p}(\text{AIC})\).
13.6 Teste de Hipóteses — Razão de Verossimilhança
Para comparar um modelo restrito com um modelo irrestrito:
- Se \(LR\) for grande \(\Rightarrow\) restrições prejudicam muito o ajuste. Rejeita-se \(H_0\).
- Se \(LR\) for pequeno \(\Rightarrow\) restrições são razoáveis. Não se rejeita \(H_0\).