6 Formas de Cotar a Taxa de Juros

6.1 Objetivo

Este capítulo tem dois objetivos complementares: (1) distinguir taxa nominal de taxa efetiva; e (2) introduzir o conceito de taxa real (descontada a inflação). Confundir essas cotações é fonte frequente de erro em contratos, projeções financeiras e análise de investimentos.

6.2 Convenções de Contagem de Dias

Convenções de dias no mercado brasileiro
Convenção	Ano-base	Mês-base
Dias corridos	360 dias	30 dias
Dias úteis	252 dias úteis	21 dias úteis

Nota

Na prática, devido a feriados, nem todos os meses têm o mesmo número de dias úteis. A estratégia correta é sempre utilizar os dias exatos do período.

HP 12C: calcula dias efetivos entre duas datas (g ΔDYS), base 360 ou 365 dias.
Excel: DIAS360 (corridos) ou DIATRABALHOTOTAL (úteis, requer tabela de feriados).

6.3 Taxa Nominal vs. Taxa Efetiva

Definição

A taxa nominal é uma taxa anunciada para um período de referência que não corresponde diretamente à capitalização efetiva. Por convenção, ela é proporcional à subperiodização.

A taxa efetiva é a taxa que de fato remunera o capital levando em conta a capitalização real no período analisado.

Se a taxa nominal anual é $j$ com capitalização $m$ vezes por ano, a taxa efetiva anual é:

\[i_{\text{ef}} = \left(1 + \frac{j}{m}\right)^m - 1.\]

Exemplo 6.1 — Selic e taxa efetiva

A taxa Selic-meta é anunciada como uma taxa anual, mas capitaliza diariamente (base 252 dias úteis). Uma taxa anual de $6\%$ com capitalização diária em base 252:

\[i_m = (1 + 0{,}06/252)^{21} - 1 \approx 0{,}502\% \text{ a.m.}\]

Já a taxa de $0{,}5\%$ a.m. anunciada como nominal (taxa proporcional):

\[i_{\text{ef}} = (1{,}005)^{12} - 1 \approx 6{,}17\% \text{ a.a.}\]

Equivalência de taxas

O princípio de equivalência (Capítulo 1) aplica-se diretamente:

\[(1 + i_1)^{n_1/360} = (1 + i_2)^{n_2/360}.\]

Para converter entre dias corridos e dias úteis, usa-se o número real de dias do período.

6.4 Taxa de Juros Real

Motivação

Até aqui ignoramos a inflação (variação geral do nível de preços). Uma taxa de juros nominal de $12\%$ com inflação de $8\%$ não rende $12\%$ em termos de poder de compra real.

Derivação da Equação de Fisher

Considere um ativo de preço $P_0$ hoje e $P_1 = P_0(1+\pi)$ no próximo período (onde $\pi$ é a inflação). Um investimento $V_0$ cresce para $V_1 = V_0(1+i)$ em termos nominais. O poder de compra real ao final é:

\[\frac{V_1}{P_1} = \frac{V_0(1+i)}{P_0(1+\pi)} = \frac{V_0}{P_0} \cdot \frac{1+i}{1+\pi}.\]

Definindo a taxa de retorno real $r$ como $1 + r = \frac{1+i}{1+\pi}$:

Resultado — Equação de Fisher

\[\boxed{1 + r = \frac{1+i}{1+\pi}} \qquad\Leftrightarrow\qquad r = \frac{i - \pi}{1 + \pi}.\]

Aproximação (para $i$ e $\pi$ pequenos): $r \approx i - \pi$.

Exemplo 6.2 — Taxa real: referência brasileira 2024

Taxa Selic: $i = 10{,}5\%$ a.a. — IPCA: $\pi = 4{,}62\%$ a.a.

\[r = \frac{1{,}105}{1{,}0462} - 1 \approx 5{,}62\% \text{ a.a. (real).}\]

Pela aproximação: $r \approx 10{,}5\% - 4{,}62\% = 5{,}88\%$ (ligeiramente acima do valor exato).

Taxa real com capitalização contínua

No regime contínuo, com taxas nominais $r_{\text{nom}}$ e inflação $\pi_c$ (ambas contínuas):

\[r_{\text{real}} = r_{\text{nom}} - \pi_c.\]

A subtração simples é exata em tempo contínuo — não há o termo $r\pi$ de correção.

Caso mais realista: inflação variável

Se a inflação $\pi_t$ varia a cada período $t = 1, \ldots, n$:

\[(1+r)^n = \frac{(1+i)^n}{\prod_{t=1}^n(1+\pi_t)}, \qquad 1 + r = \frac{(1+i)}{\left[\prod_{t=1}^n(1+\pi_t)\right]^{1/n}}.\]

6.5 Fluxo de Caixa Real

Ao avaliar um projeto com fluxos em termos nominais $R_t$, a alternativa é trabalhar em termos reais:

\[R_t^{\text{real}} = \frac{R_t}{(1+\pi_1)(1+\pi_2)\cdots(1+\pi_t)} \approx \frac{R_t}{(1+\bar\pi)^t},\]

e descontar pela taxa real $r$:

\[P = \sum_{t=1}^n \frac{R_t^{\text{real}}}{(1+r)^t}.\]

Nota

O resultado é o mesmo se descontarmos o fluxo nominal pela taxa nominal $i$, desde que a taxa $i$ e os fluxos $R_t$ sejam consistentes (ambos nominais ou ambos reais). Em geral usa-se o IPCA/FGV como índice de reajuste $\pi_t$.

6.6 Perpetuidade com Inflação (Fisher + Gordon)

Para uma perpetuidade cujos pagamentos crescem pela inflação $\pi$ (série geométrica com $\alpha = \pi$):

\[P = \frac{R_1}{i - \pi}.\]

Pela equação de Fisher, $i - \pi \approx r(1+\pi)$, logo:

Resultado

A perpetuidade nominal crescente à inflação $\pi$ vale o mesmo que a perpetuidade real uniforme com fluxo $R^{\text{real}}$ descontada pela taxa real $r$:

\[P = \frac{R_1}{i-\pi} = \frac{R^{\text{real}}}{r}.\]

Exemplo moderno — Tesouro IPCA+ como perpetuidade real (2025)

O título NTN-B paga cupom semestral de $6\%$ a.a. mais correção pelo IPCA. Para uma NTN-B de prazo muito longo (hipotética), com taxa real demandada $r = 6\%$ a.a. e cupom semestral $c = 3\%$ sobre o valor de face de R$ 1.000 (corrigido pelo IPCA):

\[P \approx \frac{30}{0{,}03} = \text{R\$ }1.000 \qquad\text{(à par, quando a taxa de mercado = cupom).}\]

Se o mercado exige $r = 7\%$ a.a., o preço cai abaixo do par (deságio) — o investidor compra mais barato e garante $7\%$ real ao ano até o vencimento.