1 Regimes de Capitalização

1.1 Conceito de Juros

Definição

Juros são a remuneração pelo sacrifício do consumo presente, ou equivalentemente, o custo de transferir poder de compra ao longo do tempo. Se um agente empresta o capital $P$ (principal) por $n$ períodos a uma taxa $i$ por período, o montante recebido ao final é $S = P + J$, onde $J$ representa os juros totais.

A forma como os juros se acumulam ao longo do tempo define o regime de capitalização. Os três regimes principais são:

Juros simples — os juros são calculados sempre sobre o principal $P$;
Juros compostos — os juros de cada período se incorporam ao principal (“juros sobre juros”);
Capitalização contínua (instantânea) — limite do regime composto quando o intervalo de capitalização tende a zero.

1.2 Juros Simples

No regime de juros simples, a cada período acrescentam-se juros iguais a $i \cdot P$:

\[J_t = i \cdot P, \qquad t = 1, 2, \ldots, n.\]

O montante após $n$ períodos é portanto:

Resultado

\[S = P\,(1 + i\,n)\]

Convenções de contagem de dias

Na prática brasileira, dois padrões coexistem:

Convenções de dias no mercado brasileiro
Convenção	Ano	Mês
Dias corridos	360 dias	30 dias
Dias úteis	252 dias úteis	21 dias úteis

Nota

Devido a feriados e ao calendário, nem todos os meses efetivos têm o mesmo número de dias úteis. A estratégia correta é sempre usar os dias exatos do período analisado.

Ferramentas práticas:

HP 12C: calcula dias efetivos entre duas datas no calendário de 360 ou 365 dias (g ΔDYS).
Excel: função DIAS360 (corridos) ou DIATRABALHOTOTAL (úteis, requer tabela de feriados).

Exemplo 1.1 — Comparação de rendimentos em juros simples

Um título paga juros simples de $2{,}5\%$ ao mês. Qual o montante de R$ 10.000 investidos por 45 dias corridos?

$n = 45/30 = 1{,}5$ meses, portanto:

\[S = 10.000\,(1 + 0{,}025 \times 1{,}5) = 10.000 \times 1{,}0375 = \text{R\$ }10.375{,}00\]

1.3 Juros Compostos

No regime de juros compostos, ao fim de cada período os juros são incorporados ao saldo, tornando-se base de cálculo do período seguinte:

\[S_1 = P(1+i),\quad S_2 = S_1(1+i) = P(1+i)^2,\quad \ldots\]

Resultado

\[\boxed{S = P\,(1+i)^n}\]

Equivalência de taxas

Duas taxas $i_1$ (para o período $n_1$) e $i_2$ (para o período $n_2$) são equivalentes sob juros compostos se produzem o mesmo montante:

\[ (1+i_1)^{n_1} = (1+i_2)^{n_2} \quad\Rightarrow\quad i_2 = (1+i_1)^{n_1/n_2} - 1. \]

Exemplo 1.2 — Equivalência mensal–anual

A taxa de $12\%$ a.a. equivale a que taxa mensal?

\[i_m = (1{,}12)^{1/12} - 1 \approx 0{,}9489\% \text{ a.m.}\]

Note que a taxa proporcional de $12\%/12 = 1\%$ a.m. é diferente; a proporcionalidade é válida apenas em juros simples.

Taxa no período

Para um investimento de $n$ períodos à taxa $i$ por período, a taxa total no período (ou taxa efetiva do período) é:

\[i_{\text{per}} = (1+i)^n - 1.\]

Exemplo 1.3 — Rendimento acumulado em 3 anos

Um fundo rende $0{,}9\%$ a.m. Qual o rendimento acumulado em 36 meses?

\[i_{36} = (1{,}009)^{36} - 1 \approx 38{,}02\%\]

Taxa de juros variável

Quando a taxa varia a cada período $t$, o montante é:

Resultado

\[S = P \prod_{t=1}^{n}(1+i_t)\]

Exemplo 1.4 — Taxa variável — 3 semestres

Taxas semestrais: $5\%$, $4{,}5\%$, $6\%$. Montante de R$ 1.000:

\[S = 1.000 \times 1{,}05 \times 1{,}045 \times 1{,}06 \approx \text{R\$ }1.163{,}78\]

1.4 Capitalização Contínua (Instantânea)

À medida que o intervalo de capitalização diminui para zero, o montante converge para:

Resultado

\[\boxed{S = P\,e^{r\,n}}\]

onde $r$ é a taxa contínua (ou taxa instantânea de juros).

Relação entre taxa contínua e taxa discreta

Igualando os montantes dos dois regimes:

\[ P\,e^{r\,n} = P\,(1+i)^n \quad\Rightarrow\quad e^r = 1+i \quad\Rightarrow\quad \boxed{r = \ln(1+i)} \quad\Leftrightarrow\quad \boxed{i = e^r - 1} \]

Exemplo 1.5 — Conversão taxa discreta ↔︎ contínua

$i = 12\%$ a.a. $\Rightarrow$ $r = \ln(1{,}12) \approx 11{,}33\%$ a.a. (contínua).
$r = 10\%$ a.a. (contínua) $\Rightarrow$ $i = e^{0{,}10}-1 \approx 10{,}52\%$ a.a. (discreta).

Exemplo moderno — Taxa Selic em capitalização contínua (2024)

A taxa Selic fixada em $10{,}50\%$ a.a. (discreta, base 252 d.u.) corresponde à taxa contínua:

\[r = \ln(1{,}1050) \approx 9{,}98\% \text{ a.a.}\]

Modelos de apreçamento de derivativos (Black–Scholes, HJM) tipicamente trabalham com $r$ contínuo.

1.5 Comparação dos Regimes

Para um mesmo capital $P$, taxa $i$ (ou taxa contínua equivalente $r = \ln(1+i)$) e prazo $n$:

Comparação dos três regimes de capitalização
Regime	Montante	Cresce	Uso típico
Juros simples	$P(1+in)$	Linearmente	Títulos curto prazo, CDI/dia
Juros compostos	$P(1+i)^n$	Exponencialmente	Maioria das operações
Capitalização contínua	$Pe^{rn}$	Exponencialmente	Finanças quantitativas

Nota

Para $n < 1$ e mesma taxa: juros simples $>$ compostos. Para $n > 1$: compostos $>$ simples. Na capitalização contínua e composta, os montantes coincidem quando $r = \ln(1+i)$.