3 Séries Finitas — Capitalização Instantânea
3.1 Motivação
As fórmulas do Capítulo 2 assumem capitalização periódica (juros compostos discretos). Quando se trabalha com modelos em tempo contínuo — comuns em Finanças Quantitativas e em precificação de derivativos — utiliza-se a taxa de juros contínua \(r\) (com \(r = \ln(1+i)\)). A diferença essencial é levar cada depósito \(R\) ao valor futuro pela taxa contínua.
3.2 Séries Discretas com Taxa Contínua
Considere \(n\) depósitos iguais de valor \(R\), realizados nos instantes \(t = 0, 1, 2, \ldots, n-1\), acumulados até \(t = n\) com taxa contínua \(r\):
\[S = R + R e^r + R e^{2r} + \cdots + R e^{(n-1)r}.\]
Esta é uma PG com \(a_1 = R\) e razão \(q = e^r\). Aplicando a fórmula da soma:
\[\boxed{S = R \left(\frac{e^{rn} - 1}{e^r - 1}\right)}\]
\[\boxed{P = R \left(\frac{1 - e^{-rn}}{e^r - 1}\right)}\]
Observe a analogia com o caso discreto:
\[S_{\text{discreto}} = R\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}\right], \qquad S_{\text{contínuo}} = R\left[\frac{e^{rn}-1}{e^r-1}\right].\]
Basta substituir \((1+i)\) por \(e^r\).
3.3 Comparação: Juros Compostos vs. Juros Contínuos
Na fórmula de Black–Scholes (1973), o fator de desconto usa a taxa livre de risco contínua:
\[\text{Fator de desconto} = e^{-r\,T},\]
onde \(T\) é o tempo até o vencimento (em anos). Para converter a taxa Selic de \(10{,}5\%\) a.a. (discreta, base 252) para contínua:
\[r = \ln(1{,}105) \approx 9{,}98\% \text{ a.a.}\]
A diferença de $$0,5 p.p. tem impacto significativo no apreçamento de opções de longo prazo.
3.4 Séries Contínuas (Fluxo Ininterrupto)
Quando os depósitos ocorrem de forma contínua — isto é, são uma função contínua do tempo \(R(t)\) —, o valor atual dos depósitos é determinado pela integral:
\[P = \int_{t=0}^{n} R(t)\, e^{-rt}\, dt\]
pois cada depósito infinitesimal \(R(t)\,dt\) realizado no instante \(t\) possui valor atual \(R(t)\,e^{-rt}\,dt\). O montante (valor futuro) é \(S = P \cdot e^{rn}\).
Série Uniforme Contínua — \(R(t) = Q\)
Para um fluxo constante \(R(t) = Q\) ao longo de \([0,n]\):
\[P = \int_0^n Q\, e^{-rt}\, dt = Q\left(-\frac{e^{-rt}}{r}\right)\Bigg|_0^n = Q\left(\frac{1 - e^{-rn}}{r}\right)\]
\[\boxed{P = Q\left(\frac{1 - e^{-rn}}{r}\right)}, \qquad \boxed{S = Q\left(\frac{e^{rn} - 1}{r}\right)}\]
Para fluxos contínuos, a capitalização instantânea é o regime natural: basta trocar a fórmula discreta \([(1+i)^n-1]/i\) pela contínua \((e^{rn}-1)/r\).
Série em PA Crescente — \(R(t) = R + bt\)
Quando os depósitos crescem linearmente com o tempo, \(R(t) = R + bt\), o valor presente é decomposto em duas partes:
\[P = \int_0^n (R + bt)\,e^{-rt}\,dt = \underbrace{R\int_0^n e^{-rt}\,dt}_{\text{sabemos}} + \underbrace{b\int_0^n t\,e^{-rt}\,dt}_{\text{calcular}}\]
A segunda integral resolve-se por integração por partes, com a troca de variável \(x = -rt\):
\[b\int_0^n t\,e^{-rt}\,dt = \frac{b}{r^2}\left(-nre^{-rn} - e^{-rn} + 1\right) = \frac{b}{r^2}\left(1 - e^{-rn} - nre^{-rn}\right)\]
Portanto, o valor presente total é:
\[P = \frac{R(1-e^{-rn})}{r} + \frac{b}{r^2}\!\left(1 - e^{-rn} - nre^{-rn}\right)\]
e o montante correspondente (\(S = P \cdot e^{rn}\)) pode ser reescrito como:
\[\boxed{S = R\left(\frac{e^{rn}-1}{r}\right) + \frac{b}{r}\!\left[\left(\frac{e^{rn}-1}{r}\right) - n\right]}\]
onde o primeiro termo é a série uniforme contínua e o segundo é a contribuição do crescimento linear.
Série em PA Decrescente — \(R(t) = R - bt\)
Para depósitos que decrescem linearmente, basta inverter o sinal do gradiente:
\[S = R\left(\frac{e^{rn}-1}{r}\right) - \frac{b}{r}\!\left[\left(\frac{e^{rn}-1}{r}\right) - n\right]\]
Série em PG Contínua — \(R(t) = Re^{\alpha t}\)
Quando os depósitos crescem a uma taxa contínua \(\alpha\) (crescimento exponencial), o valor atual dos depósitos é:
\[P = \int_0^n Re^{\alpha t}\,e^{-rt}\,dt = R\int_0^n e^{(\alpha-r)t}\,dt = R \cdot\frac{1}{(\alpha - r)}\,e^{(\alpha-r)t}\Bigg|_0^n\]
\[= R\left(\frac{e^n - e^{\alpha n}}{r - \alpha}\right)\cdot\frac{1}{e^{rn}}\cdot e^{rn} \quad\Longrightarrow\quad P = R\left(\frac{1 - e^{(\alpha-r)n}}{r - \alpha}\right)\]
\[\boxed{P = R\left(\frac{1 - e^{(\alpha-r)n}}{r - \alpha}\right)}, \qquad \boxed{S = R\left(\frac{e^{rn} - e^{\alpha n}}{r - \alpha}\right)}\]
Nota: as expressões acima são válidas apenas para \(r \neq \alpha\). Se \(r = \alpha\), o depósito cresce exatamente à taxa de desconto e \(P = Rn\) (área do retângulo).
Exemplo 3.11 — Série Contínua em PA
Dados: série em PA de 50 termos, com 1ª prestação \(= 100\) e última \(= 500\), taxa contínua \(r = 1{,}2\%\) por período.
Resolução:
① Razão (gradiente linear): \(b = \Delta/n = (500 - 100)/50 = \mathbf{8}\) por período.
② Decomposição e aplicação da fórmula da série em PA crescente:
\[S = 100\left(\frac{e^{0{,}012 \times 50}-1}{0{,}012}\right) + \frac{8}{0{,}012}\left[\left(\frac{e^{0{,}012 \times 50}-1}{0{,}012}\right) - 50\right] = \mathbf{19.190{,}92}\]
O montante acumulado ao final dos 50 períodos é R$ 19.190,92.
| Tipo | \(R(t)\) | Montante \(S\) |
|---|---|---|
| Uniforme | \(Q\) | \(Q\,\dfrac{e^{rn}-1}{r}\) |
| PA Crescente | \(R + bt\) | \(R\,\dfrac{e^{rn}-1}{r} + \dfrac{b}{r}\!\left[\dfrac{e^{rn}-1}{r} - n\right]\) |
| PA Decrescente | \(R - bt\) | \(R\,\dfrac{e^{rn}-1}{r} - \dfrac{b}{r}\!\left[\dfrac{e^{rn}-1}{r} - n\right]\) |
| PG (\(r\neq\alpha\)) | \(Re^{\alpha t}\) | \(R\,\dfrac{e^{rn}-e^{\alpha n}}{r-\alpha}\) |