4 Séries Infinitas — Perpetuidades

4.1 Motivação

Definição

Uma perpetuidade é uma série de pagamentos que se estende indefinidamente no tempo ($n \to \infty$). O problema central é: quanto vale hoje uma renda que dura para sempre?

Perpetuidades surgem na avaliação de ações (Modelo de Gordon), fundos de endowment, rendas vitalícias e na análise de dívidas soberanas (consols britânicos).

4.2 Séries Discretas

Perpetuidade Uniforme

Partindo do valor presente de uma série vencida com $n$ períodos e tomando o limite $n \to \infty$:

Resultado

\[\boxed{P = \frac{R}{i}.} \qquad\text{Equivalentemente: } R = P\cdot i.\]

A lógica é direta: os juros $P \cdot i$ gerados pelo capital $P$ a cada período são exatamente retirados sem jamais tocar no principal.

Exemplo 4.1 — Renda perpétua de R$ 1.500/mês

Com taxa de $0{,}5\%$ a.m., o capital necessário para gerar R$ 1.500/mês para sempre:

\[P = \frac{1.500}{0{,}005} = \textbf{R\$ 300.000.}\]

Perpetuidade em PA (Gradiente Crescente)

Para pagamentos em PA — $\{R, 2R, 3R, \ldots\}$ — aplicando a Regra de L’Hôpital quando $n \to \infty$:

Resultado

\[P = \frac{R\,(1+i)}{i^2}.\]

Exemplo 4.2 — Perpetuidade em PA

$R = 100$, $i = 2\%$ a.m.:

\[P = \frac{100 \times 1{,}02}{(0{,}02)^2} = \frac{102}{0{,}0004} = \textbf{R\$ 255.000.}\]

Interpretação: pagar hoje R$ 255.000 equivale a receber R$ 100 no mês 1, R$ 200 no mês 2, e assim por diante, sem fim.

Nota — Séries decrescentes não convergem

Para uma série em PA decrescente os pagamentos eventualmente se tornam negativos; a série não possui sentido econômico como perpetuidade. Para séries em PG decrescentes ($\alpha < 0$), a convergência requer $|\alpha| < i$.

Perpetuidade em PG

Para pagamentos em PG com crescimento $\alpha$ por período, tomando $n \to \infty$ com $\alpha < i$:

Resultado

\[\boxed{P = \frac{R}{i - \alpha}.}\]

Se $\alpha \geq i$, a série diverge (pagamentos crescem mais rápido do que a taxa de desconto) e o valor presente é infinito.

4.3 Séries Contínuas

Perpetuidade Uniforme Contínua

Para um fluxo contínuo $b$ por unidade de tempo a uma taxa contínua $r$:

Resultado

\[P = \lim_{T\to\infty} \frac{b(1-e^{-rT})}{r} = \frac{b}{r}.\]

Exemplo 4.3 — Comparação discreta vs. contínua

$b = R = 1.500$ por mês, $r = \ln(1{,}005) \approx 0{,}4988\%$ a.m.:

\[P_{\text{cont}} = \frac{1.500}{0{,}004988} \approx \textbf{R\$ 300.720.}\]

Praticamente idêntico ao resultado discreto (R$ 300.000), pois o intervalo de capitalização é pequeno.

Perpetuidade Gradiente Crescente Contínua

Para fluxo $b(t) = b_0 \, e^{\alpha t}$ (crescimento contínuo a taxa $\alpha < r$):

Resultado

\[P = \int_0^\infty b_0 e^{\alpha t} e^{-rt}\,dt = \frac{b_0}{r - \alpha}.\]

Exemplo 4.4 — Perpetuidade geométrica contínua

$R = 100$, $r = 1{,}0\%$ a.m., $\alpha = 0{,}5\%$ a.m.:

\[P = \frac{100}{0{,}010 - 0{,}005} = \frac{100}{0{,}005} = \textbf{R\$ 20.000.}\]

4.4 Modelo de Gordon

O Modelo de Gordon (1956) é a aplicação direta da fórmula de perpetuidade geométrica à avaliação de ações.

Definição

O preço de uma ação é o valor presente do fluxo de dividendos futuros esperados, descontados pela taxa de retorno requerida (custo de oportunidade) $i$.

Para dividendo constante $D$: $P = D/i$.

Para dividendo crescendo a $\alpha$ por período ($i > \alpha$):

Resultado — Modelo de Gordon

\[\boxed{P_0 = \frac{D_0(1+\alpha)}{i - \alpha} = \frac{D_1}{i - \alpha},}\]

onde $D_1 = D_0(1+\alpha)$ é o dividendo esperado no próximo período.

Exemplo moderno — Modelo de Gordon: Petrobras (PETR4)

Hipóteses ilustrativas (dados de referência, 2024):

Dividendo pago no último exercício: $D_0 = \text{R\$ }3{,}20$ por ação.
Taxa de crescimento estimada dos dividendos: $\alpha = 5\%$ a.a.
Taxa de retorno requerida pelo acionista: $i = 15\%$ a.a. (CAPM).

\[P_0 = \frac{3{,}20 \times 1{,}05}{0{,}15 - 0{,}05} = \frac{3{,}36}{0{,}10} = \textbf{R\$ 33,60.}\]

Se o preço de mercado for inferior a R$ 33,60, o ativo está subavaliado pelo modelo. Note a sensibilidade: se $\alpha$ subir para $7\%$, o preço-justo sobe para R$ 42,24 ($+25\%$).