5 Sistemas de Amortização

5.1 Estrutura Geral de uma Prestação

Quando se toma um empréstimo de valor $P$ a uma taxa $i$ por período, cada prestação $R_t$ é composta de duas partes:

Resultado

\[R_t = J_t + A_t,\]

onde $J_t = i \cdot P_{t-1}$ são os juros do período $t$, calculados sobre o saldo devedor $P_{t-1}$; $A_t$ é a amortização do período $t$; e $P_t = P_{t-1} - A_t$ é o saldo devedor ao final do período $t$.

À medida que o tempo passa e o principal é amortizado, $J_t$ diminui pois $P_{t-1}$ decresce. A forma como $A_t$ é distribuída define o sistema de amortização.

Sistemas de amortização
Sistema	Prestação $R_t$	Amortização $A_t$
PRICE	Constante ($R_t = \bar{R}$)	Crescente
SAC	Decrescente (série gradiente)	Constante ($A_t = \bar{A}$)
Americano	Constante ($i\cdot P$) + principal no final	Zero até $t=n-1$

5.2 Sistema PRICE (Francês)

No sistema PRICE, a prestação é constante: $R_t = \bar{R}$ para todo $t$. Isso é equivalente a uma série uniforme vencida:

\[\bar{R} = P\left[\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}\right].\]

As relações gerais para o período $k$ são:

Resultado

\[\bar{R} = P\left[\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\right], \quad J_k = \bar{R}\left[1-(1+i)^{k-n-1}\right], \quad A_k = \bar{R}\,(1+i)^{k-n-1}, \quad P_k = \bar{R}\left[\frac{1-(1+i)^{k-n}}{i}\right].\]

Os juros decrescem e a amortização cresce, mantendo $R_t = \bar{R}$ constante.

5.3 Sistema SAC (Constante)

No sistema SAC, a amortização é constante: $A_t = \bar{A} = P/n$, logo o saldo devedor decresce linearmente. A prestação é decrescente:

Resultado

\[\bar{A} = \frac{P}{n}, \quad J_k = i\,(n-k+1)\,\bar{A}, \quad R_k = \bar{A}\left[1 + i(n-k+1)\right], \quad P_k = (n-k)\,\bar{A}.\]

Nota

O SAC é uma série gradiente decrescente com último termo $\bar{A} + i\bar{A}$ e série uniforme de valor $\bar{A}$.

5.4 Sistema Americano e Sinking Fund

No sistema americano, o principal não é amortizado ao longo do contrato:

\[R_t = i\cdot P \quad (t = 1, \ldots, n-1), \qquad R_n = i\cdot P + P.\]

Para garantir a liquidação do principal, o devedor pode constituir um Sinking Fund — um depósito periódico $R_{\text{sf}}$ que, acumulado até $t = n$, atinge exatamente $P$:

\[R_{\text{sf}} = P\left[\frac{i}{(1+i)^n-1}\right].\]

Exemplo 5.1 — Sinking Fund

Dívida de R$ 6.000 por 7 anos com $i = 4{,}0083\%$ a.a.:

\[R_{\text{sf}} = 6.000\left[\frac{0{,}040083}{(1{,}040083)^7-1}\right] \approx \textbf{R\$ 759,44/ano.}\]

5.5 Tabelas de Amortização

Empréstimo de R$ 6.000 a $4{,}0083\%$ a.m., 7 períodos.

PRICE

\[\bar{R} = 6.000\left[\frac{0{,}040083\,(1{,}040083)^7}{(1{,}040083)^7-1}\right] \approx \text{R\$ 1.000/mês.}\]

Tabela PRICE
$k$	Saldo devedor	Juros $J_k$	Amortização $A_k$	Prestação $R_k$
0	6.000,00	—	—	—
1	5.240,56	240,56	759,44	1.000,00
2	4.450,67	210,12	789,89	1.000,00
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
7	0,00	38,55	961,45	1.000,00
Total	—	1.000,00	6.000,00	7.000,00

SAC

\[\bar{A} = \frac{6.000}{7} \approx \text{R\$ 857,14/mês.}\]

Tabela SAC
$k$	Saldo devedor	Juros $J_k$	Amortização $A_k$	Prestação $R_k$
0	6.000,00	—	—	—
1	5.142,86	240,50	857,14	1.097,64
2	4.285,71	206,20	857,14	1.063,34
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
7	0,00	34,37	857,14	891,51
Total	—	962,25	6.000,00	6.962,25

Nota

O SAC tem total de juros menor (R$ 962 vs. R$ 1.000 no PRICE) porque amortiza o saldo mais rapidamente, reduzindo a base de cálculo dos juros. A desvantagem é que as primeiras prestações são mais altas.

5.6 Comparação SAC × PRICE

SAC: amortiza saldo mais depressa → maior parcela inicial, mas total de juros menor.
PRICE: parcelas iguais facilitam o orçamento; juros maiores no total, pois o saldo devedor diminui mais lentamente.
Qual escolher? Depende da preferência intertemporal do devedor. Para quem vai pré-pagar, o SAC é mais vantajoso (saldo cai mais rápido).

Exemplo moderno — PRICE vs. SAC no Financiamento Imobiliário FGTS (2025)

Financiamento de R$ 400.000 em 360 meses, taxa de $8{,}16\%$ a.a. (FGTS — referência 2025): $i = (1{,}0816)^{1/12}-1 \approx 0{,}6559\%$ a.m.

PRICE: $\bar{R} \approx \text{R\$ }3.006/\text{mês}$; total pago $\approx \text{R\$ }1.082.160$.

SAC: $\bar{A} = 400.000/360 \approx \text{R\$ }1.111/\text{mês}$ (amortização); 1ª prestação $\approx \text{R\$ }3.737$; 360ª prestação $\approx \text{R\$ }1.118$; total pago $\approx \text{R\$ }882.000$.

O SAC economiza $\approx$ R$ 200.000 em juros, mas exige capacidade de pagamento maior nos primeiros anos. Bancos no Brasil oferecem ambos os sistemas.